(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Cosin của góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng:

Câu hỏi:

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

C. \(\frac{1}{4}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Lời giải:

Chọn B

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), khi đó: \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {D\,,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SD}}\), với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \).

Trong \(\Delta AHD\) vuông tại \(A\) có: \(HD = \sqrt {A{D^2} + A{H^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Trong \(\Delta SAB\) đều có: \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong \(\Delta SHD\) vuông tại \(H\) có: \(SD = \sqrt {S{H^2} + H{D^2}} = 2a\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\), dựng \(HK \bot SB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\end{array} \right.,\,\, \Rightarrow BC \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow BC \bot HK\), mà \(HK \bot SB\), nên \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).

Ta có: \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{AB}}{{HB}}.d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK\).

Trong \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Do đó: \(\sin \alpha = \frac{{2HK}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \), nên \(\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

Vậy \(\cos \widehat {\left( {SD\,,\left( {SBC} \right)} \right)} = \frac{{\sqrt {13} }}{4}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện