Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} + 6x > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + 3{\log _3}y\)có nghiệm đúng với mọi \(x \ge 5\). 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} + 6x > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + 3{\log _3}y\)có nghiệm đúng với mọi \(x \ge 5\). 

A. \(243\). 

B. \(242\). 

C. \(59048\). 

D. \(59049\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐK: \(y > 0\).

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} + 6x > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + 3{\log _3}y\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} – 6x\).\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x}} – 3.2x\). 

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} – 3t\)\( \Rightarrow f’\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} – 3 < 0\quad \forall t \in \mathbb{R}\). 

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x}} – 3.2x\) \( \Leftrightarrow {\log _3}y < 2x \Leftrightarrow y < {3^{2x}} \Leftrightarrow y < {9^x}\). 

Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(x \ge 5\) \( \Leftrightarrow y < {9^5}\) \( \Leftrightarrow y < 59049\).

\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;…;59048} \right\}\).

Vậy có \(59048\) số nguyên \(y\) thỏa mãn bài toán.