DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} + 6x > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + 3{\log _3}y\)có nghiệm đúng với mọi \(x \ge 5\).
A. \(243\).
B. \(242\).
C. \(59048\).
D. \(59049\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐK: \(y > 0\).
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} + 6x > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} + 3{\log _3}y\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} – 6x\).\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x}} – 3.2x\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} – 3t\)\( \Rightarrow f’\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} – 3 < 0\quad \forall t \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{{\log }_3}y}} – 3{\log _3}y > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x}} – 3.2x\) \( \Leftrightarrow {\log _3}y < 2x \Leftrightarrow y < {3^{2x}} \Leftrightarrow y < {9^x}\).
Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi \(x \ge 5\) \( \Leftrightarrow y < {9^5}\) \( \Leftrightarrow y < 59049\).
\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;…;59048} \right\}\).
Vậy có \(59048\) số nguyên \(y\) thỏa mãn bài toán.
Trả lời