ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức\({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}}\)?
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận
Ta có : \({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} – y = – {x^2} – x + 1\left( * \right)\)
Cách 1 :
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \)tìm \(x \in \mathbb{Z}\) đề phương trìnhcó nghiệm y dương.
Xét hàm số \(f\left( y \right) = {y^2} – y\) trên \(\left( {0, + \infty } \right)\)
\(f’\left( y \right) = 2y – 1,\,\,f’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}.\)
BBT :
Dựa vào BBT ta có :
Phương trìnhcó nghiệm y dương \( \Leftrightarrow – {x^2} – x + 1 \ge – \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { – 1;0} \right\}\)
Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.
Cách 2 :
Yêu cầu bài toán được thoả
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\,V\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
TH1 :
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};\frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
Ta chọn \(x \in \left\{ { – 1;0} \right\}\)
TH2 :
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};\frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} ;y > 0\end{array} \right.,\,\,\)
không tồn tại \(x \in \mathbb{Z}\) để \(y > 0\)
Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.
Tư duy + C. asio + Mẹo
Vẫn như kỹ thuật ở trên – xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x, y
Ta có : \({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} – y = – {x^2} – x + 1\).
Dò bảng đồng thời x, y
Vậy chỉ có hai số nguyên x tồn tại số thực dương y.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========