Có bao nhiêu số nguyên \(m\) sao cho phương trình \({3^{{x^2} + 2mx + 4m – 3}} – 2 = \left| {\frac{{m – 2}}{{x + m}}} \right|\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – 6;0} \right]\)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) sao cho phương trình \({3^{{x^2} + 2mx + 4m – 3}} – 2 = \left| {\frac{{m – 2}}{{x + m}}} \right|\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – 6;0} \right]\)?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện: \(x \ne – m\).
Với điều kiện trên \({3^{{x^2} + 2mx + 4m – 3}} – 2 = \left| {\frac{{m – 2}}{{x + m}}} \right|\)\( \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x + m} \right)}^2} – {{\left( {m – 2} \right)}^2} + 1}} – 2 = \left| {\frac{{m – 2}}{{x + m}}} \right|\).
Đặt \(t = \left| {x + m} \right|,\;t > 0\) ta được: \({3^{{t^2} – {{\left( {m – 2} \right)}^2} + 1}} – 2 = \frac{{\left| {m – 2} \right|}}{t}\) \(\left( * \right)\).
Nhận thấy: Hàm số \(f\left( t \right) = {3^{{t^2} – {{\left( {m – 2} \right)}^2} + 1}} – 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
Hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{\left| {m – 2} \right|}}{t}\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
Và \(f\left( {\left| {m – 2} \right|} \right) = g\left( {\left| {m – 2} \right|} \right)\).
Vậy \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(t = \left| {m – 2} \right|\).
Khi đó \(\left| {x + m} \right| = \left| {m – 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 2 – 2m\end{array} \right.\).
Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { – 6\,;0} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 6 \le 2 – 2m \le 0\\2 – 2m \ne – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le m \le 4\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Do \(m\)nguyên nên \(m \in \left\{ {1\,;3\,;4} \right\}\).