Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)để bất phương trình\(\left( {{5^x} – x + 2021} \right)\left( {{5^x} – y} \right) < 0\) có đúng 6nghiệm nguyên dương của \(x\)?  

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)để bất phương trình\(\left( {{5^x} – x + 2021} \right)\left( {{5^x} – y} \right) < 0\) có đúng 6nghiệm nguyên dương của \(x\)?  

A. \(62499.\) 

B. \(62500.\) 

C. \(62503.\) 

D. \(62505.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {5^x} – x + 2021\) với \(x \ge 1\)

\(f’\left( x \right) = {5^x}\ln 5 – 1 > 0\left( {\forall x \ge 1} \right)\). Hàmsố đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Do đó \(\forall x \ge 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) = 5 – 1 + 2021 > 0\) 

Khi đó bất phương trình:\(\left( {{5^x} – x + 2021} \right)\left( {{5^x} – y} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {5^x} – y < 0 \Leftrightarrow {5^x} < y \Leftrightarrow x < {\log _5}y\).

Để bất phương trình có đúng 6 nghiệm nguyên dương của \(x\)\(\left( {x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}} \right)\)thì ta cần

\(\begin{array}{l}6 < {\log _5}y \le 7 \Leftrightarrow {5^6} < y \le {5^7} \Leftrightarrow 15625 < y \le 78125\left( {y \in {\mathbb{Z}^ * }} \right)\\ \Rightarrow y \in \left\{ {15626;15627;…;78125} \right\}\end{array}\)

Vậy có \(78125 – 15626 + 1 = 62500\) số.