Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) luôn tồn tại nhưng không quá \(2021\) số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \(\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) luôn tồn tại nhưng không quá \(2021\) số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \(\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\)?

A. \(8\). 

B. \(11\). 

C. \(6\). 

D. \(10\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \(\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\). Do \(x \ge 1\) nên \({\log _2}x + 3 > 0\). 

Khi đó bpt \( \Leftrightarrow {\log _2}x – y < 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x < {2^y}\).

Kết hợp điều kiện \(x \ge 1\) ta có\(1 \le x < {2^y}\).

Để ứng với mỗi số nguyên dương \(y\) luôn tồn tại nhưng không quá \(2021\) số nguyên dương \(x\) thì \(1 < {2^y} \le 2022\)\( \Leftrightarrow 0 < y \le {\log _2}2022 \approx 10,98\).

Kết hợp \(y\) nguyên dương ta có \(y \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9;\,10} \right\}\).

Vậy có \(10\) giá trị \(y\) thỏa mãn bài toán.