Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nhiều nhất \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 4}} – 1} \right)\left( {{3^x} – y – 1} \right) < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có nhiều nhất \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 4}} – 1} \right)\left( {{3^x} – y – 1} \right) < 0\)?

A. \(2187\). 

B. \(59048\). 

C. \(59049\). 

D. \(2186\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(\left( {{3^{x + 4}} – 1} \right)\left( {{3^x} – y – 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^4}{{.3}^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – y – 1} \right) < 0\)\(\left( 1 \right)\) 

Vì \(y\) nguyên dương nên \(y + 1 > \frac{1}{{{3^4}}}\), khi đó ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^4}}} < {3^x} < y + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{{81}} < {\log _3}{3^x} < {\log _3}\left( {y + 1} \right)\) 

\( \Leftrightarrow  – 4 < x < {\log _3}\left( {y + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { – 4\,;\,{{\log }_3}\left( {y + 1} \right)} \right)\).

Ứng với mỗi số nguyên dương \(y\) có nhiều nhất \(10\) số nguyên \(x \in \left( { – 4\,;\,{{\log }_3}\left( {y + 1} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)\(0 < {\log _3}\left( {y + 1} \right) \le 7\)\( \Leftrightarrow 1 < y + 1 \le {3^7} \Leftrightarrow 0 < y \le 2186\).

Vậy có \(2186\) giá trị nguyên \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.