DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình \(\left( {{{\log }_2}x + x – 11} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\) có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá \(7\) số nguyên \(x\) thỏa mãn?
A. \(3\).
B. \(2\).
C. \(1\).
D. \(4\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tác giả: Hương Đào
Ta có: \(\left( {{{\log }_2}x + x – 11} \right)\left( {{{\log }_2}x – y} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 11 < 0\\{\log _2}x – y > 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x + x – 11 > 0\\{\log _2}x – y < 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = {\log _2}x + x – 11\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 2}} + 1 > 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Khi đó ta có:
\(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 8\\{\log _2}x – y > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 8\\x > {2^y}\end{array} \right.\).
Hệ \(\left( 1 \right)\)có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 7 số nguyên \(x\) thỏa mãn\( \Leftrightarrow 2 \le {2^y} < 7\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 2\end{array} \right.\).
\(\left( 2 \right)\) \(\left\{ \begin{array}{l}x > 8\\{\log _2}x – y < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 8\\x < {2^y}\end{array} \right.\).
Hệ \(\left( 2 \right)\)có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 7 số nguyên \(x\) thỏa mãn\( \Leftrightarrow 9 < {2^y} \le 16\)\( \Leftrightarrow {\log _2}9 < y \le 4 \Leftrightarrow y = 4\). Vậy có \(3\) số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình đã cho có nghiệm \(x\) và có không quá \(7\) số nguyên \(x\) thỏa mãn.
Trả lời