Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để bất phương trình \({2^{{m^2} – 14}} < {2^{{x^2} - 2x - 3}} + \frac{{{x^2} - 2x - {m^2} + 11}}{{{2^{x - 3}}}}\) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của \(x\).
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
\({2^{{m^2} – 14}} < {2^{{x^2} - 2x - 3}} + \frac{{{x^2} - 2x - {m^2} + 11}}{{{2^{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{m^2} + x - 17}} < {2^{{x^2} - x - 6}} + {x^2} - 2x - {m^2} + 11\)
\( \Leftrightarrow {2^{{m^2} + x - 17}} + {m^2} + x - 17 < {2^{{x^2} - x - 6}} + {x^2} - x - 6\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) có \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(f\left( {{m^2} + x – 17} \right) < f\left( {{x^2} - x - 6} \right) \Leftrightarrow {m^2} + x - 17 < {x^2} - x - 6 \Leftrightarrow {m^2} < {x^2} - 2x + 11\).
Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 11\). \(g'\left( x \right) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = 10\).
Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} g\left( x \right) = 10\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {m^2} < 10 \Leftrightarrow - \sqrt {10} < m < \sqrt {10} \) , mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên
Trả lời