Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình\({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = \left( {2 – m} \right)\ln x – 4\) có nghiệm thuộc vào đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\)? A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình\({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = \left( {2 – m} \right)\ln x – 4\) có nghiệm thuộc vào đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\)?
A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Có \({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = \left( {2 – m} \right)\ln x – 4\)\( \Leftrightarrow \)\({m^2}\left( {\ln x – 1} \right) = \left( {2 – m} \right)\ln x – 4\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {{m^2} + m – 2} \right)\ln x = {m^2} – 4\)\(\left( 1 \right)\).¬
• Với \({m^2} + m – 2 = 0\)\( \Rightarrow \)\(m = 1\)\(\left( {m > 0} \right)\), \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(0\ln x = – 3\) (Vô nghiệm) \( \Rightarrow \)Loại \(m = 1\).
• Với \(m \ne 1\), \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\ln x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}\) \(\left( 2 \right)\).
Hàm số \(y = \ln x\) đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\); với \(x \in \left[ {\frac{1}{e};1} \right]\)\( \Rightarrow \ln x \in \left[ { – 1;0} \right]\).
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\) khi
\( – 1 \le \frac{{m – 2}}{{m – 1}} \le 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m – 2}}{{m – 1}} \ge – 1\\\frac{{m – 2}}{{m – 1}} \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{3}{2}\\m < 1\end{array} \right.\\1 < m \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{3}{2} \le m \le 2\) \( \Rightarrow \)\(m = 2\). Vậy có \(1\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.