Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) để phương trình \({6^x} – 2m = {\log _{\sqrt[3]{6}}}\left( {18\left( {x + 1} \right) + 12m} \right)\) có nghiệm?
A. \(211\). B. \(2020\). C. \(2023\). D. \(212\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Điều kiện: \(18\left( {x + 1} \right) + 12m > 0\).
Phương trình \({6^x} – 2m = {\log _{\sqrt[3]{6}}}\left( {18\left( {x + 1} \right) + 12m} \right) \Leftrightarrow {6^x} = 2m + 3{\log _6}\left[ {6\left( {3x + 2m + 3} \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {6^x} = 2m + 3\left[ {1 + {{\log }_6}\left( {3x + 2m + 3} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {6^x} = 3{\log _6}\left( {3x + 2m + 3} \right) + 2m + 3,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(y = {\log _6}\left( {3x + 2m + 3} \right) \Leftrightarrow {6^y} = 3x + 2m + 3,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, PT(*) trở thành: \({6^x} = 3y + 2m + 3,\,\left( 2 \right)\)
Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được
\({6^y} – {6^x} = 3x – 3y \Leftrightarrow {6^x} + 3x = {6^y} + 3y\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {6^t} + 3t,\,\,t \in \mathbb{R}.\)
Ta có \(f’\left( t \right) = {6^t}\ln 6 + 3 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Mà PT (3) \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(y = x\) vào PT (1), ta được \({6^x} = 3x + 2m + 3 \Leftrightarrow {6^x} – 3x = 2m + 3\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {6^x} – 3x\), với \(x \in \mathbb{R}\). Ta có \(g’\left( x \right) = {6^x}\ln 6 – 3 \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {\log _6}\left( {\frac{3}{{\ln 6}}} \right)\)
BBT:
Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow 2m + 3 \ge g\left( {{{\log }_6}\frac{3}{{\ln 6}}} \right) \approx 0,81 \Rightarrow m \ge – 1,095\)
Vậy có 2023 số nguyên \(m\)thỏa mãn yêu cầu.
Trả lời