Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m + 1} \right){25^{{{\log }_2}x}} + \left( {m – 2} \right){x^{{{\log }_2}5}} – 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn . A. \(3\). B. \(2\) . C. \(0\). D. \(1\) .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m + 1} \right){25^{{{\log }_2}x}} + \left( {m – 2} \right){x^{{{\log }_2}5}} – 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn .
A. \(3\). B. \(2\) . C. \(0\). D. \(1\) .
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có: \(\left( {m + 1} \right){25^{{{\log }_2}x}} + \left( {m – 2} \right){x^{{{\log }_2}5}} – 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){25^{{{\log }_2}x}} + \left( {m – 2} \right){5^{{{\log }_2}x}} – 2m + 1 = 0\) (1)
Đặt \(t = {5^{{{\log }_2}x}}\,\)\(\left( {t > 0} \right)\)
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( {m + 1} \right){t^2} + \left( {m – 2} \right)t – 2m + 1 = 0\)\(\left( * \right)\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\)có \(2\) nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( * \right)\)có \(2\) nghiệm \({t_1}\) và \({t_2}\)
dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}.{t_2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\{\left( {m – 2} \right)^2} – 4\left( {m + 1} \right)\left( { – 2m + 1} \right) = 9{m^2} > 0\\\frac{{ – \left( {m – 2} \right)}}{{m + 1}} > 0\\\frac{{ – 2m + 1}}{{m + 1}} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 1\\m \ne 0\\ – 1 < m < 2\,\,\\ - 1 < m < \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\,\,\\ - 1 < m < \frac{1}{2}\end{array} \right.\) Ta có: \({x_1}.{x_2} = 4 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x_1}.{x_2}} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x_1}} \right) + {\log _2}\left( {{x_2}} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow {5^{{{\log }_2}\left( {{x_1}} \right) + {{\log }_2}\left( {{x_2}} \right)}} = {5^2} \Leftrightarrow {5^{{{\log }_2}\left( {{x_1}} \right)}}{.5^{{{\log }_2}\left( {{x_2}} \right)}} = 25 \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} = 25\) Áp dụng hệ thức vi-ét cho phương trình \(\left( * \right)\), ta có: \({t_1}.{t_2} = 25 \Leftrightarrow \frac{{ - 2m + 1}}{{m + 1}} = 25 \Leftrightarrow - 2m + 1 = 25m + 25 \Leftrightarrow - 24 = 27m \Leftrightarrow m = - \frac{{24}}{{27}}\) (loại). Vậy không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn.