Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để \(\sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – m} – \sqrt {3 + 2x – x_{}^2} \le 2\) có nghiệm.
A. \(19\).
B. \(18\).
C. \(17\).
D. \(16\).
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: \( – 1 \le x \le 3\).
\(\begin{array}{l}\sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – m} – \sqrt {3 + 2x – x_{}^2} \le 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – m} \le 2 + \sqrt {3 + 2x – x_{}^2} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – m \ge 0\\\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – m \le \left( {2 + \sqrt {3 + 2x – x_{}^2} } \right)_{}^2\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} \) \( \Rightarrow t’ = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }};{\rm{ }}t’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le t\\m \ge t – \frac{{t_{}^4}}{4} = f\left( t \right)\end{array} \right.\). Hệ \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} t\\m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\sqrt 2 \\m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\end{array} \right.\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) có \(f’\left( t \right) = 1 – t_{}^3 < 0{\rm{ }}\forall t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\).
Do đó \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 – 16\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 – 16 \le m \le 2\sqrt 2 \).
Vậy có 16 giá trị m thỏa mãn.
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời