DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x\,;\,y)\) thỏa mãn điều kiện \(x,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) và
\(\left( {x – 2} \right)\sqrt {y + 2} = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{x^2} – 4x + 5} \).
A. \(46\).
B. \(6\).
C. \(45\).
D. \(5\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
\( \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\sqrt {(y + 1) + 1} = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{{(x – 2)}^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {(y + 1) + 1} }}{{\sqrt {y + 1} }} = \frac{{\sqrt {{{(x – 2)}^2} + 1} }}{{x – 2}} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{(y + 1) + 1}}{{y + 1}}} = \sqrt {\frac{{{{(x – 2)}^2} + 1}}{{{{(x – 2)}^2}}}} \).
Xét hàm số \(f(t) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{t}} \) trên khoảng \((0\,;\, + \infty )\) ta có:
\(f'(t) = – \frac{1}{{2{t^2}\sqrt {1 + \frac{1}{t}} }} < 0\), \(\forall \,t > 0\) \( \Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên \((0\,;\, + \infty )\).
Từ\( \Leftrightarrow f\left( {y + 1} \right) = f\left( {{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow y + 1 = {\left( {x – 2} \right)^2} \Leftrightarrow y = {\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)
Mà \(x,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) nên \(3 \le {\left( {x – 2} \right)^2} – 1 \le 48 \Leftrightarrow 4 \le {\left( {x – 2} \right)^2} \le 49\)\( \Leftrightarrow 2 \le x – 2 \le 7 \Leftrightarrow 4 \le x \le 9\).
Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {4\,;\,5\,;\,6\,;\,7;\,8;\,9} \right\}\), với mỗi giá trị của \(x\) cho ta một giá trị của \(y\) thỏa mãn đề bài.
Vậy có \(6\) cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn đề bài.
– Tư duy + Casio:
+ Ta có phương trình: \(\left( {x – 2} \right)\sqrt {y + 2} = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{x^2} – 4x + 5} \).
+ Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(x = 100\,\, \to \,y = 9603 = {x^2} – 4x + 3\).
+ Mà \(x,\,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) nên \(3 \le {x^2} – 4x + 3 \le 48 \Leftrightarrow 4 \le x \le 9\).
Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}\), với mỗi giá trị \(x\) cho 1 giá trị của \(y\) thỏa mãn đề bài.
Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn đề bài.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========