Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x\,;\,y)\) thỏa mãn điều kiện \(x,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) và 

\(\left( {x – 2} \right)\sqrt {y + 2}  = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{x^2} – 4x + 5} \).

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x\,;\,y)\) thỏa mãn điều kiện \(x,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) và 

\(\left( {x – 2} \right)\sqrt {y + 2}  = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{x^2} – 4x + 5} \).

A. \(46\). 

B. \(6\). 

C. \(45\). 

D. \(5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận:

\( \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\sqrt {(y + 1) + 1}  = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{{(x – 2)}^2} + 1} \) 

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {(y + 1) + 1} }}{{\sqrt {y + 1} }} = \frac{{\sqrt {{{(x – 2)}^2} + 1} }}{{x – 2}} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{(y + 1) + 1}}{{y + 1}}}  = \sqrt {\frac{{{{(x – 2)}^2} + 1}}{{{{(x – 2)}^2}}}} \).

Xét hàm số \(f(t) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{t}} \) trên khoảng \((0\,;\, + \infty )\) ta có:

\(f'(t) =  – \frac{1}{{2{t^2}\sqrt {1 + \frac{1}{t}} }} < 0\), \(\forall \,t > 0\) \( \Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên \((0\,;\, + \infty )\).

Từ\( \Leftrightarrow f\left( {y + 1} \right) = f\left( {{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow y + 1 = {\left( {x – 2} \right)^2} \Leftrightarrow y = {\left( {x – 2} \right)^2} – 1\) 

Mà \(x,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) nên \(3 \le {\left( {x – 2} \right)^2} – 1 \le 48 \Leftrightarrow 4 \le {\left( {x – 2} \right)^2} \le 49\)\( \Leftrightarrow 2 \le x – 2 \le 7 \Leftrightarrow 4 \le x \le 9\).

Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {4\,;\,5\,;\,6\,;\,7;\,8;\,9} \right\}\), với mỗi giá trị của \(x\) cho ta một giá trị của \(y\) thỏa mãn đề bài.

Vậy có \(6\) cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn đề bài. 

– Tư duy + Casio:

+ Ta có phương trình: \(\left( {x – 2} \right)\sqrt {y + 2}  = \sqrt {y + 1} .\sqrt {{x^2} – 4x + 5} \).

+ Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(x = 100\,\, \to \,y = 9603 = {x^2} – 4x + 3\).

+ Mà \(x,\,\,y \in \left[ {3\,;\,48} \right]\) nên \(3 \le {x^2} – 4x + 3 \le 48 \Leftrightarrow 4 \le x \le 9\).

Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}\), với mỗi giá trị \(x\) cho 1 giá trị của \(y\) thỏa mãn đề bài.

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn đề bài.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========