Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(0 \le x \le 2020\), \(1 \le y \le 2020\) và \({4^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y + 3} \right) = {16.2^y} + {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\). A. \(2019\). B. \(2020\). C. \(1010\). D. \(1011\).

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(0 \le x \le 2020\), \(1 \le y \le 2020\) và \({4^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y + 3} \right) = {16.2^y} + {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\).
A. \(2019\). B. \(2020\). C. \(1010\). D. \(1011\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có \({4^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y + 3} \right) = {16.2^y} + {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 3} \right) – {16.2^y} = {\log _2}\left( {2x + 1} \right) – {4^{x + 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 3} \right) – {2^{y + 4}} = {\log _2}\left( {2x + 1} \right) – {2^{2x + 2}}\,\,\left( * \right)\end{array}\)
+ Khi\(x = 0\) thì \(y = – 2\) (không thỏa đề)
+ Khi \(x = 1\) thì \(y = 0\) (không thỏa đề)
+ Khi \(x > 1\), Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t – {2^{t + 1}}\) trên \(\left[ {4;\, + \infty } \right)\).
Khi đó \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} – {2^{t + 1}}.\ln 2\)\( = \frac{{1 – t{{.2}^{t + 1}}.\ln 2.\ln 2}}{{t\ln 2}} < 0,\forall t \ge 4\) Suy ra hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t - {2^{t + 1}}\) nghịch biến trên \(\left[ {4;\, + \infty } \right)\). Do đó phương trình (*) thành: \(y + 3 = 2x + 1\) \( \Leftrightarrow y + 2 = 2x\) \( \Rightarrow y + 2\)chẵn. Vì \(1 \le y \le 2020\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}y + 2 \ge 3\\y + 2 \le 2022\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 3\\2x \le 2022\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\x \le 1011\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;4;...;1011} \right\}\) Do đó \(\left( {x;\,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;2} \right),\,\left( {3;\,4} \right),\,\left( {4;\,6} \right),\,\left( {5;\,8} \right),\,...,\,\left( {1011;\,2020} \right)} \right\}\). Vậy có \(1010\) cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\).