Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện sau \(0 \le y \le 100\) và \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\)?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện sau \(0 \le y \le 100\) và \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\)?

A. 10. 

B. 100. 

C. 20. 

D. 21.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} – 27{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} + 3{x^2} + 6y = 27{y^3} + 9y\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2y} \right)^3} + 3\left( {{x^2} + 2y} \right) = {\left( {3y} \right)^3} + 3 \cdot 3y\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\). 

Ta có \(f’\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\). Do đó \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Vì vậy, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2y} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2y = 3y \Leftrightarrow {x^2} = y\).

Theo đề bài, \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow  – 10 \le x \le 10\).

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ { – 10; – 9;…;9;10} \right\}\). Với mỗi \(x\) xác định duy nhất một giá trị \(y = {x^2}\). 

Vậy có 21 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tư duy + Casio:

Ta có phương trình \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\).

Áp dụng kỹ thuật CALC \(y = 0,01 \Rightarrow x = 0,1 = \sqrt y  \Rightarrow y = {x^2}\).

Theo đề bài, \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow  – 10 \le x \le 10\).

Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ { – 10; – 9;…;9;10} \right\}\). Với mỗi \(x\) xác định duy nhất một giá trị \(y = {x^2}\). 

Vậy có 21 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========