Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)\) với \(x{\rm{ }};{\rm{ }}y\) nhận giá trị trong đoạn \(\left[ {{\rm{0 }};{\rm{ 2021}}} \right]\) sao cho \(y – x – 2 \ge 0\) và \({4.2^x} – {2^y} + 3(x – y) + 6 \ge 0\). A. 2019. B. 2020. C.2021. D. 2022.

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)\) với \(x{\rm{ }};{\rm{ }}y\) nhận giá trị trong đoạn \(\left[ {{\rm{0 }};{\rm{ 2021}}} \right]\) sao cho \(y – x – 2 \ge 0\) và \({4.2^x} – {2^y} + 3(x – y) + 6 \ge 0\).
A. 2019. B. 2020. C.2021. D. 2022.
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có:
\(\begin{array}{l}{4.2^x} – {2^y} + 3(x – y) + 6 \ge 0 \Leftrightarrow {2^{x + 2}} – {2^y} + 3x – 3y + 6 \ge 0\\{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} + 3(x + 2) \ge {2^y} + 3y\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + 3t\) \( \Rightarrow f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3 > 0,\forall t \in R \Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\) .
Do đó \(f\left( {x + 2} \right) \ge f\left( y \right) \Leftrightarrow x + 2 \ge y{\rm{ }}\left( 1 \right)\) .
Theo giả thiết ta có \(y – x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge x + 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right){\rm{ v\`a }}\left( 2 \right)\) ta có \(y = x + 2\).
Vì \(0 \le x \le 2021 \Leftrightarrow 0 \le y – 2 \le 2021 \Leftrightarrow 2 \le y \le 2023\).
Mà \(y \in \mathbb{Z}{\rm{ v\`a 0}} \le y \le 2021\) nên \(y \in \left\{ {2;3;…;2021} \right\}\). Suy ra có 2020 giá trị nguyên của \(y\) và tương ứng là 2020 giá trị nguyên của \(x\).
Vậy có 2020 cặp số nguyên \(\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.