Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;\,y} \right)\) thoả mãn \(0 < x \le 2021\) và \({3^x}\left( {x + 1} \right) = {27^y}y\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;\,y} \right)\) thoả mãn \(0 < x \le 2021\) và \({3^x}\left( {x + 1} \right) = {27^y}y\)?

A. \(2019\). 

B. \(2020\). 

C. \(674\). 

D. \(763\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({3^x}.\left( {x + 1} \right) = {27^y}.y\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{3^x}.\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {{{27}^y}.y} \right)\)

\( \Leftrightarrow x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y + {\log _3}y\) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y + {\log _3}y + {\log _3}3\) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y + {\log _3}\left( {3y} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _3}t\), với \(t > 0\).

\(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0\), \(\forall t > 0\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).

Từ đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) = f\left( {3y} \right)\)\( \Leftrightarrow x + 1 = 3y\)\( \Leftrightarrow x = 3y – 1\).

Vì \(0 < x \le 2021\) nên \(0 < 3y – 1 \le 2021\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} < y \le \frac{{2022}}{3}\)\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;{\kern 1pt} \,2;\,3;\,…;\,674} \right\}\).

Ứng với mỗi giá trị \(y\) nguyên dương cho ta một giá trị \(x\) nguyên dương.

Vậy có \(674\) cặp số nguyên dương \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán.