Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x\,;\,y} \right)\) là nghiệm của phương trình \(x{.3125^x} = \left( {y + 1} \right){5^y}\) và thỏa mãn \(y \le 60\).
A. \(10\). B. \(13\). C. \(11\). D. \(12\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Ta có \(x{.3125^x} = \left( {y + 1} \right){5^y}\)\( \Leftrightarrow x{.5^{5x}} = \left( {y + 1} \right){5^y}\)
\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x{{.5}^{5x}}} \right) = {\log _5}\left[ {\left( {y + 1} \right){5^y}} \right] \Leftrightarrow 5x + {\log _5}x = {\log _5}\left( {y + 1} \right) + y\)
\( \Leftrightarrow 5x + {\log _5}5x = \left( {y + 1} \right) + {\log _5}\left( {y + 1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _5}t\), \(t > 0\).
Ta có \(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t.\ln 5}}\, > 0,\,\,\forall \,t > 0\). Khi đó \(f\left( {5x} \right) = f\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow 5x = y + 1\).
Như vậy tương ứng với mỗi giá trị \(x\) nguyên dương ta đều có \(y\) nguyên dương mà \(y \le 60\) suy ra \(5x \le 61 \Leftrightarrow x \le \frac{{61}}{5}\).
Mặt khác \(x\) nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3;…;\,12} \right\}\).
Vậy có \(12\) cặp số \(\left( {x\,;\,y} \right)\) nguyên dương thỏa mãn đề bài.
Trả lời