Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ ”cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ ”cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $OO’=6\mathrm{cm}$, $OA=10\mathrm{cm}$, $OB=20\mathrm{cm}$. Đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $B$. Thể tích của chiếc mũ là bao nhiêu cm$^3$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

\par
Đáp án: 3142

Lời giải: Ta chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như hình vẽ sau.

Gọi $y=f(x)$ là hàm số có đồ thị là đường Parabol đi qua điểm $A(0;-10)$ và có đỉnh là $B(20;0)$.
Khi đó $y=f(x)=\dfrac{-1}{40}x^2+x-10$.
Thể tích phần tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục tung và xoay quanh trục hoành là
$V_1=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{20} \left(\dfrac{-1}{40}x^2+x-10\right)^2\mathrm{d}x= 400\pi(\mathrm{cm}^3).$
Thể tích phần trụ tròn phía dưới là
$V_2=\pi \cdot 10^2 \cdot 6=600 \pi(\mathrm{cm}^3).$
Thể tích của cái mũ là $V=V_1+V_2=1000 \pi \approx 3142(\mathrm{cm}^3).$