Cho\(x,\,\,y\)là các số thực dương thoả mãn \({3^{3xy + x + 2y}} = \frac{{81 – 81xy}}{{x + 2y}}\) . Khi \(A = xy + 3x{y^2}\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \(S = 13x + 8y\) bằng A.\(12\) B.\(13\). C. \(14\). D. \(15\).

Cho\(x,\,\,y\)là các số thực dương thoả mãn \({3^{3xy + x + 2y}} = \frac{{81 – 81xy}}{{x + 2y}}\) . Khi \(A = xy + 3x{y^2}\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \(S = 13x + 8y\) bằng
A.\(12\) B.\(13\). C. \(14\). D. \(15\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{3xy + x + 2y}} > 0\\x + 2y > 0\end{array} \right. \Rightarrow 81 – 81xy > 0 \Leftrightarrow xy < 1\). Ta có \({3^{3xy + x + 2y}} = \frac{{81 - 81xy}}{{x + 2y}} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{3xy + x + 2y}}} \right) = {\log _3}\left( {\frac{{81 - 81xy}}{{x + 2y}}} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3xy + x + 2y = {\log _3}\left( {\frac{{81 - 81xy}}{{x + 2y}}} \right)\\ \Leftrightarrow 3xy + \left( {x + 2y} \right) = {\log _3}\left[ {27\left( {3 - 3xy} \right)} \right] - {\log _3}\left( {x + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + \left( {x + 2y} \right) = {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + 3 - 3xy\,\,\,\,(*)\end{array}\) Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\), \(\forall t > 0\) có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\), \(\forall t > 0\).
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0, + \infty } \right)\) nên ta có
\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 2y} \right) = f\left( {3 – 3xy} \right) \Leftrightarrow x + 2y = 3 – 3xy \Rightarrow x = \frac{{3 – 2y}}{{1 + 3y}}\).
Thay vào \(A\) ta được \(A = xy + 3x{y^2} = xy\left( {1 + 3y} \right) = \frac{{3 – 2y}}{{1 + 3y}}y\left( {1 + 3y} \right) = – 2{y^2} + 3y \Rightarrow \max A = \frac{9}{8}\) khi \(y = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{6}{{13}}\).
Vậy biểu thức \(S = 13x + 8y = 12\)