Cho \(x,y\) thỏa mãn \({2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} – {5^{2x – y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} – {2^{ – 2x + y + 1}} – {3^{ – 2x + y + 1}}\left( * \right)\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1\).

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho \(x,y\) thỏa mãn \({2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} – {5^{2x – y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} – {2^{ – 2x + y + 1}} – {3^{ – 2x + y + 1}}\left( * \right)\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1\).

A. \(2\). 

B. \( – 2\). 

C. \(1\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow {2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} + {2^{ – 2x + y + 1}} + {3^{ – 2x + y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} + {5^{2x – y + 1}}\)

Đặt \(2x – y = a\), phương trình trở thành \(2\left( {{2^a} + {2^{ – a}}} \right) + 3\left( {{3^a} + {3^{ – a}}} \right) = 5\left( {{5^a} + {5^{ – a}}} \right)\)

Nhận thấy nếu \(a\) là nghiệm thì \( – a\) cũng là nghiệm nên chỉ cần xét \(a \ge 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^t} + {x^{ – t}},x > 1\) với số thực \(t\) dương tùy ý.

Ta có \(f’\left( x \right) = t{x^{t – 1}}\left( {1 – {x^{ – 2t}}} \right)\), do \(x > 1\) nên \(1 – {x^{ – 2t}} > 0\)

\( \Rightarrow \) hàm số này đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó, ta được bất đẳng thức sau: \({2^a} + {2^{ – a}} \le {3^a} + {3^{ – a}} \le {5^a} + {5^{ – a}},\forall a \ge 0\) và dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = 0\).

Suy ra \(2\left( {{2^a} + {2^{ – a}}} \right) + 3\left( {{3^a} + {3^{ – a}}} \right) \le 5\left( {{5^a} + {5^{ – a}}} \right)\).

Đẳng thức chỉ xảy ra khi \(a = 0\) hay \(2x – y = 0 \Leftrightarrow 2x = y\).

Khi đó \(P = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1 =  – 2{x^2} + 4x + 1 =  – 2{\left( {x – 1} \right)^2} + 3 \le 3\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(3\) khi \(x = 1\).

\(\)

Tư duy + Casio:

Ta có \({2^{2x – y + 1}} + {3^{2x – y + 1}} – {5^{2x – y + 1}} = {5^{ – 2x + y + 1}} – {2^{ – 2x + y + 1}} – {3^{ – 2x + y + 1}}\)

Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(y = 0.01 \to x = 0.005 \Leftrightarrow 2x = y\).

Khi đó \({P_{\max }} = 2{x^2} – {y^2} – 2x + 3y + 1 =  – 2{x^2} + 4x + 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(3\) khi \(x = 1\). 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========