Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + 2y} \right) + {\log _4}\left( {x – 2y} \right) = 1\). Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) để giá trị lớn nhất của biểu thức \(f\left( {x,y} \right) = \left| x \right| – \left| y \right|\) bằng 2.
A. \(0\). B. \(1\). C. \(2\). D. \(3\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y > 0\\x + 2y > 0\end{array} \right.\).
Ta có \({\log _4}\left( {x + 2y} \right) + {\log _4}\left( {x – 2y} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 2y} \right)\left( {x – 2y} \right)} \right] = {\log _4}4\).
\( \Leftrightarrow {x^2} – 4{y^2} = 4\)\( \Leftrightarrow 4{y^2} = {x^2} – 4\)\( \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{{x^2} – 4}}{4}\).
Ta có \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2}} – \sqrt {{y^2}} = \sqrt {{x^2}} – \sqrt {\frac{{{x^2} – 4}}{4}} = g\left( x \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} – \sqrt {\frac{{{x^2} – 4}}{4}} \) trên \(D = \left( { – \infty ; – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
\(g’\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }} – \frac{1}{2}.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}\); \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
\(g\left( 2 \right) = 2;g\left( { – 2} \right) = 2;g\left( { \pm \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right) = \sqrt 3 \).
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của \(f\left( {x,y} \right)\) bằng \(2\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\) và \(\left( {x;y} \right) = \left( { – 2;0} \right)\).
So với điều kiện ta loại \(\left( {x;y} \right) = \left( { – 2;0} \right)\).
Trả lời