Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức \(\ln \frac{{x + 1}}{{5y + 1}} \le 25{y^4} + 10{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\,\,\left( 1 \right)\). Biết \(y \le 2020\), hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\). A. \(2041210\). B. \(10206060\). C. \(2041220\). D. \(10206050\).

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức \(\ln \frac{{x + 1}}{{5y + 1}} \le 25{y^4} + 10{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\,\,\left( 1 \right)\). Biết \(y \le 2020\), hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\).
A. \(2041210\). B. \(10206060\). C. \(2041220\). D. \(10206050\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có
\(\ln \frac{{x + 1}}{{5y + 1}} \le 25{y^4} + 10{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\)\( \Leftrightarrow \ln \frac{{xy + y}}{{5{y^2} + y}} \le \left( {25{y^4} + 10{y^3} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2}{y^2} + 2xy.y + {y^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {xy + y} \right) – \ln \left( {5{y^2} + y} \right) \le {\left( {5{y^2} + y} \right)^2} – {\left( {xy + y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {xy + y} \right) + {\left( {xy + y} \right)^2} \le \ln \left( {5{y^2} + y} \right) + {\left( {5{y^2} + y} \right)^2}\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = \ln t + {t^2}\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 2t > 0\,\,\forall t \in \left( {0;\, + \infty } \right)\). Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {xy + y} \right) \le f\left( {5{y^2} + y} \right)\) \( \Leftrightarrow xy + y \le 5{y^2} + y \Leftrightarrow x \le 5y\).
Vì \(y \le 2020\) nên ta có các trường hợp sau
\(y = 1\) \( \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\)
\(y = 2 \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;7;8;9;10} \right\}\)
………………………………………..
\(y = 2020 \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,2;\,…….;\,10100} \right\}\)
Vậy số cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài là: \(\frac{{\left( {5 + 10100} \right)}}{2}.2020 = 10206050\).