ĐỀ BÀI:
Cho \(x,y\) dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {{x^2} + 2y} \right) = 1 + {\log _3}4.\) Giá trị lớn nhất của \(P = \sqrt {xy} \) thuộc khoảng nào dưới đây.
A. \(\left( { – 1;1} \right)\).
B. \(\left( {\frac{1}{2};3} \right)\).
C. \(\left( {5;\,10} \right)\).
D. \(\left( { – 2;\,0} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + 2y} \right) = 1 + {\log _3}4 = {\log _3}3 + {\log _3}4 = {\log _3}12 \Rightarrow {x^2} + 2y = 12\).
Ta lại có: \(16 = {x^2} + 4 + 2y \ge 2\sqrt {{x^2}.4} + 2y = 4x + 2y \ge 2\sqrt {4x.2y} = 2\sqrt 8 \sqrt {xy} \).
\( \Rightarrow P = \sqrt {xy} \le \sqrt 8 \).
Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 4}\\{4x = 2y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 4}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(\max P = \sqrt 8 \).
Tư duy + Casio:
Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(x = 0.01 \to y = 5.99995 \Leftrightarrow 2y = 11.9999\)
\( \Leftrightarrow 2y = 12 – {x^2} \Leftrightarrow y = \frac{{12 – {x^2}}}{2} \Rightarrow P = \sqrt {xy} = \sqrt {x \cdot \frac{{12 – {x^2}}}{2}} \)
Đạo hàm tại \(P\) tìm cực trị, sau đó thay ngược vào \(P\) nhận đáp số.
Vậy \(\max P = \sqrt 8 \).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Trả lời