Cho \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) = 2x – 4y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^4} – 3{x^2}{y^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} + \frac{{3x}}{{4y}}\) bằng bao nhiêu? A. \(\frac{3}{4}\). B. \(\frac{4}{9}\). C. \(\frac{3}{2}\). D. \(\frac{{13}}{2}\).

Cho \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) = 2x – 4y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^4} – 3{x^2}{y^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} + \frac{{3x}}{{4y}}\) bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{3}{4}\). B. \(\frac{4}{9}\). C. \(\frac{3}{2}\). D. \(\frac{{13}}{2}\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\) .
Theo giả thiết
\({\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) = 2x – 4y + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) – 1 = 2x – 4y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) – {\log _2}2 = 2x – 4y\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{2x + 2y}}} \right) = 2x – 4y\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{x + 4y}}{{x + y}}} \right) = 2\left( {2x + 2y} \right) – 2\left( {x + 4y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 4y} \right) + 2\left( {x + 4y} \right) = {\log _2}\left( {2x + 2y} \right) + 2\left( {2x + 2y} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Suy ra: hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\)đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Nên \(\left( 1 \right)\)Mà \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 4y} \right) = f\left( {2x + 2y} \right) \Leftrightarrow x + 4y = 2x + 2y \Leftrightarrow x = 2y\)..
Mà \(P = \frac{{{x^4} – 3{x^2}{y^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}} + \frac{{3x}}{{4y}} = \frac{{16{y^2} – 12{y^4} + 16{y^2}}}{{64{y^3}}} + \frac{{3.2y}}{{4y}}\).
\( = \frac{y}{{16}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{3}{2} \ge 2\sqrt {\frac{y}{{16}}.\frac{1}{{4y}}} + \frac{3}{2}\).
Vậy \({P_{\min }} = \frac{3}{2}\)khi \(y = 2\).