Cho \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực dương thoả mãn bất đẳng thức sau đây \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\). Biết \(y \le 1000\), hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn bất đẳng thức.

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực dương thoả mãn bất đẳng thức sau đây \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\). Biết \(y \le 1000\), hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thoả mãn bất đẳng thức.

A. \({\rm{1501100}}\). 

B. \({\rm{1501300}}\). 

C. \({\rm{1501400}}\). 

D. \({\rm{1501500}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận

Ta có phương trình: \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\) \( \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le \left( {9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2}{y^2} + 2xy \cdot y + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) – \log \left( {3{y^2} + y} \right) \le {\left( {3{y^2} + y} \right)^2} – {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log \left( {3{y^2} + y} \right) + {\left( {3{y^2} + y} \right)^2}\) 

Xét hàm \(f\left( t \right) = \log t + {t^2}\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\) có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0{\rm{  }}\forall t \in (0; + \infty )\).

Suy ra \(f\left( t \right)\)là hàm đồng biến trên \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow f\left( {xy + y} \right) \le f\left( {3{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y \le 3{y^2} + y \Leftrightarrow x \le 3y\).

Vì \(y \le 1000\) nên ta có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

…

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2; \ldots  \ldots ;3000} \right\}\).

Vậy số cặp nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài là: \(3 + 6 + 9 +  \ldots  + 3000 = 1501500\).

Tư duy +Casio

Áp dụng kĩ thuật CALC:cho \(y = 0,01 \to x = 0,03 = 3y\)

Đừng quan tâm dấu hãy luôn xử lý tại dấu “=”, suy ra \(x \le 3y\).

Nhiều bạn thắc mắc làm sao biết \(x,y\) mà khẳng định \(x \le 3y\), cách xác định dấu đó là hãy quay trở lạiphương trình ban đầu cho \(x,y\) bất kỳ thì sẽ xét được \(x \ge 3y\) hay \(x \le 3y\).

+ Vì \(1 \le y \le 1000 \Rightarrow 1 \le x \le 3000\). Sử dụng MTCT tính tổng:

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========