Cho x, y là các số thực thoả mãn \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Tập giá trị của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3}\) chứa bao nhiêu giá trị nguyên ?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho x, y là các số thực thoả mãn \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Tập giá trị của biểu thức \(P = {x^3} + {y^3}\) chứa bao nhiêu giá trị nguyên ?

A. \(4\). 

B. \(5\). 

C. \(9\). 

D. Vô số.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận

Điều kiện \(x + y > 0;\,{x^2} + {y^2} > 0\)

Ta đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\left( 1 \right)\)

Vì \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} \le {2.4^t} \Rightarrow t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2 \approx 0,85\).

Ta có \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy \Rightarrow xy = \frac{{{9^t} – {4^t}}}{2}.\)

Khi đó \(P = {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\)\( = {27^t} – {3.3^t}.\frac{{{9^t} – {4^t}}}{2} =  – \frac{1}{2}{.27^t} + \frac{3}{2}{.12^t} = f\left( t \right)\)

Xét \(f\left( t \right) =  – \frac{1}{2}{.27^t} + \frac{3}{2}{.12^t}\) với \(t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2\)

có \(f’\left( t \right) =  – \frac{1}{2}{.27^t}.\ln 27 + \frac{3}{2}{.12^t}.\ln 12\)

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.27^t}.\ln 27 = \frac{3}{2}{.12^t}.\ln 12\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{27}}{{12}}} \right)^t} = 3.\frac{{\ln 12}}{{\ln 17}} \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{{27}}{{12}}}}\left( {3.\frac{{\ln 12}}{{\ln 27}}} \right) \approx 1,006\left( L \right)\)

\(f’\left( 0 \right) = \frac{1}{2}.\ln 27 + \frac{3}{2}.\ln 12 > 0\)

Bảng biến thiên:

Gọi\(T\) là tập giá trị của\(P\). Đặt \(f\left( {{{\log }_{\frac{9}{4}}}2} \right) = \alpha \) Từ bảng biến thiên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}T = \left( {0;\,\alpha } \right]\\P \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {1;2;3;4} \right\} \in T\) nên suy ra tập giá trị của \(P\) có chứa 4 giá trị nguyên.

Phương pháp Tư duy + C. asio

Ta đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\)

Lượng giác hoá: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {{4^t}} .\cos \left( \alpha  \right)\\y = \sqrt {{4^t}} .\sin \left( \alpha  \right)\end{array} \right.,\left( \alpha  \right) \in \left( {0;2\pi } \right)\)

Từ đó ta được : \(\sqrt {{4^t}} .\cos \left( \alpha  \right) + \sqrt {{4^t}} .\sin \left( \alpha  \right) = {3^t}\)\( \Rightarrow \cos \left( \alpha  \right) + \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{{3^t}}}{{\sqrt {{4^t}} }} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t}\)\( \Rightarrow t = {\log _{\frac{3}{2}}}\left( {\cos \left( \alpha  \right) + \sin \left( \alpha  \right)} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {{4^t}} .\cos \left( \alpha  \right) = \sqrt {{4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {\cos \left( \alpha  \right) + \sin \left( \alpha  \right)} \right)}}} .\cos \left( \alpha  \right)\\y = \sqrt {{4^t}} .\sin \left( \alpha  \right) = \sqrt {{4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {\cos \left( \alpha  \right) + \sin \left( \alpha  \right)} \right)}}} .\sin \left( \alpha  \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = {x^3} + {y^3}\)

Dò bảng để tìm đáp số :

Ta thấy \(x\) chạy trong khoảng từ 1 đến 4,18. Theo đề bài \(x\)nguyên nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========