Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy \le 4y – 1\). Giá trịnhỏ nhất của\(P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y}\) là \(a + \ln b\). Giá trị của tích \(a.b\) là

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho \(x\), \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy \le 4y – 1\). Giá trịnhỏ nhất của\(P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y}\) là \(a + \ln b\). Giá trị của tích \(a.b\) là

A. \(45\). 

B. \(81\). 

C. \(108\). 

D. \(115\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(xy \le 4y – 1\) \( \Leftrightarrow 4y \ge xy + 1 \ge 2\sqrt {xy} \) \( \Rightarrow 4y \ge 2\sqrt {xy} \) nên \(\sqrt {\frac{x}{y}}  \le 2 \Leftrightarrow \frac{x}{y} \le 4\).

Xét \(P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y} = 12 + 6\frac{y}{x} + \ln \left( {\frac{x}{y} + 2} \right)\).

Đặt \(t = \frac{x}{y},\,0 < t \le 4\). Suy \(P = f\left( t \right) = 12 + \frac{6}{t} + \ln \left( {t + 2} \right)\) 

Ta có \(f’\left( t \right) =  – \frac{6}{{{t^2}}} + \frac{1}{{t + 2}} = \frac{{{t^2} – 6t – 12}}{{{t^2}\left( {t + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {t – 3} \right)}^2} – 21}}{{{t^2}\left( {t + 2} \right)}}\)

Với\(0 < t \le 4\) thì \( – 3 < t – 3 \le 1\)\( \Rightarrow 0 \le {\left( {t – 3} \right)^2} < 9\) nên \({\left( {t – 3} \right)^2} – 21 < 0,\,\forall t \in \left( {0;\,4} \right]\).

Do đó \(f’\left( t \right) < 0\) với \(\,\forall t \in \left( {0;\,4} \right]\). Hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,4} \right]\).

Suy ra \(f\left( t \right) \ge f\left( 4 \right)\) với \(\,\forall t \in \left( {0;\,4} \right]\) hay \(P \ge f\left( 4 \right) = 12 + \frac{6}{4} + \ln 6 \Leftrightarrow P \ge \frac{{27}}{2} + \ln 6\).

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{27}}{2} + \ln 6\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = 4\\x.y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \(a = \frac{{27}}{2},\,b = 6\) nên \(a.b = 81\). Chọn \(B\).

Tư duy + Casio + Mẹo:

Ta có \(xy \le 4y – 1\) \( \Leftrightarrow x \le \frac{{4y – 1}}{y}\)(\(x,\,y\)là số thực dương nên không đổi dấu bất phương trình).

Ta lại có \(P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y} \le \frac{{6\left( {2.\frac{{4y – 1}}{y} + y} \right)}}{{\frac{{4y – 1}}{y}}} + \ln \frac{{\frac{{4y – 1}}{y} + 2y}}{y}\). 

Như vậy ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A = a + \ln b = \frac{M}{b} + \ln b\\M = a.b \Rightarrow a = \frac{M}{b}\end{array} \right.\). Trong đó \(M\) là các đáp án 

Qua đó nhận thấy key B có \(x = b = 6\). 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========