Cho số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \({2^{{x^2}}} – {2^y} = y – {x^2}.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x – 2y.\)

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \({2^{{x^2}}} – {2^y} = y – {x^2}.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x – 2y.\)

A. \(P = \frac{1}{4}\). 

B. \(P = \frac{3}{4}\). 

C. \(P = \frac{1}{3}\). 

D. \(P = \frac{1}{8}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận :

Ta có \({2^{{x^2}}} – {2^y} = y – {x^2} \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} + {x^2} = {2^y} + y \Leftrightarrow f\left( {{x^2}} \right) = f\left( y \right),\) với \(f\left( t \right) = {2^t} + t.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\) \(\forall t \in \mathbb{R}.\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Do đó \(f\left( {{x^2}} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow {x^2} = y.\)

\(P = x – 2y = x – 2{x^2} =  – 2{x^2} + x – \frac{1}{8} + \frac{1}{8} =  – {\left( {\sqrt 2 x – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{1}{8} \le \frac{1}{8}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{8}\) đạt được khi \(x = \frac{1}{4},\) \(y = \frac{1}{{16}}.\)

– Tư duy + C. asio:

Nhận thấy \(y = {x^2} \Rightarrow {P_{\max }} = x – 2{x^2}.\)

Phương trình bậc 2, bậc 3 thì giải tìm min – max cho nhanh nhé!

Thậm chí các bạn vẫn có thể dò bảng câu này!

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{8}\) đạt được khi \(x = \frac{1}{4},\) \(y = \frac{1}{{16}}.\)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========