Cho số thực \(1 \le x \le 8\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{{\log }_2}\frac{x}{{128}}}}{{{{\log }_2}x + 1}} – {\log _{\sqrt 2 }}x\) lần lượt là \(a,b\). Tính \(ab\).

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho số thực \(1 \le x \le 8\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{{\log }_2}\frac{x}{{128}}}}{{{{\log }_2}x + 1}} – {\log _{\sqrt 2 }}x\) lần lượt là \(a,b\). Tính \(ab\).

A. \(ab = 5\). 

B. \(ab = 35\). 

C. \(ab =  – 7\). 

D. \(ab =  – 35\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận

\(P = \frac{{{{\log }_2}\frac{x}{{128}}}}{{{{\log }_2}x + 1}} – {\log _{\sqrt 2 }}x = \frac{{{{\log }_2}x – {{\log }_2}128}}{{{{\log }_2}x + 1}} – 2{\log _2}x = \frac{{{{\log }_2}x – 7}}{{{{\log }_2}x + 1}} – 2{\log _2}x.\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), \(0 \le t \le 3\).

Ta có \(P = \frac{{t – 7}}{{t + 1}} – 2t\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

\(P’ = \frac{8}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} – 2\), \(P’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  – 3.\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Giá trị lớn nhất của biểu thức là \(b =  – 5\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(a =  – 7\).

Vậy \(ab = 35\).

– Tư duy + C. asio

Ta có \(P = \frac{{{{\log }_2}\frac{x}{{128}}}}{{{{\log }_2}x + 1}} – {\log _{\sqrt 2 }}x\), \(1 \le x \le 8\)

Dùng chức năng khảo sát hàm trên máy tính CASIO.

Nhập \(f\left( x \right) = \frac{{{{\log }_2}\frac{x}{{128}}}}{{{{\log }_2}x + 1}} – {\log _{\sqrt 2 }}x\).

Star: 1

End: 8

Step: 0,25

Rồi dò bảng

Vậy \(ab = 35\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========