ĐỀ BÀI:
Cho phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\). Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên khoảng \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}2020\pi } \right)\)
A. \(2020\).
B. \(2019\).
C. \(1009\).
D. \(1010\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Điều kiện \(\sin x > 0,\cos x > 0\).
Đặt \(u = 2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\cot ^2}x = {3^u}\\\cos x = {2^u}\end{array} \right.\).
Vì \({\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 – {{\cos }^2}x}}\) nên suy ra
\({3^u} = \frac{{{{\left( {{2^u}} \right)}^2}}}{{1 – {{\left( {{2^u}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{2^u}} \right)^2} = {3^u}\left( {1 – {{\left( {{2^u}} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^u} + {4^u} – 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^u} + {4^u} – 1 = 0\), \(f’\left( u \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^u}\ln \frac{4}{3} + {4^u}\ln 4 > 0,\forall u \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình \(f\left( u \right) = 0\) có nhiều nhất một nghiệm. Dễ thấy \(f\left( { – 1} \right) = 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(u = – 1\).
Với \(u = – 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\{\cot ^2}x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Đối chiếu điều kiện ta được \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Vì \(x \in \left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}2020\pi } \right)\) nên \( – \frac{1}{6} < k < \frac{{6059}}{6}\).
Do \(k \in \mathbb{Z}\) ta chọn \(k \in \left\{ {0,1,2,…,1009} \right\}\).
Vậy phương trình có \(1010\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}2020\pi } \right)\).
– Tư duy C. asio:
– Gặp dạng lượng giác thì chúng ta dò bảng.
– Xử lý trên một vòng tròn lượng giác, rồi nhân số vòng tròn sẽ tìm được đáp số.
Như vậy, một vòng tròn \(\left( {360^\circ = 2\pi } \right)\) thì chỉ có một nghiệm \( \Rightarrow 1010\) vòng nghĩa là có \(1010\) nghiệm.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Trả lời