Cho lăng trụ \(ABCD.EFGH\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(\widehat {ABD} = 60^\circ \). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Đỉnh \(E\) cách đều các điểm \(A\), \(B\), \(D\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(V = {a^3}\sqrt 3 \).

Lời giải:

Gọi \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Vì \(E\) cách đều \(A\), \(B\), \(D\) nên \(EI\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\). Do đó \(EI \bot \left( {ABD} \right)\).

Gọi \(J\) là trung điểm B

D. Do tam giác \(EBD\) cân đỉnh \(J\) nên \(EJ \bot BD\)

Ta có tam giác \(ABD\) tam giác đều nên \(AJ \bot BD\)

Suy ra góc giữa \(\left( {EBD} \right)\) và đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {EJI} = 60^\circ \).

Ta có \(IJ = \frac{1}{3}AJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Do đó \(EI = IJ.\tan 60^\circ = a\).

Ngoài ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABCD.EFGH\) là \(V = {S_{ABCD}}.EI = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).