Cho hình phẳng $(\mathrm{H})$ giới hạn bởi các đường $y=x^2, y=0, x=0, x=4$

Cho hình phẳng $(\mathrm{H})$ giới hạn bởi các đường $y=x^2, y=0, x=0, x=4$. Đường thẳng $y=k(0{<}k{<}16)$ chia hình $(\mathrm{H})$ thành hai phần có diện tích $S_1, S_2$ (hình vẽ). Tìm $k$ để $S_1=S_2$.

Đáp án: 4

Lời giải: Ta có hình $(\mathrm{H})$ giới hạn bởi các đường $x=\sqrt{y}, x=4, y=0, y=16$, khi đó diện tích hình $(\mathrm{H})$ là $S=\displaystyle\int\limits_{0}^{16}\left(4-\sqrt{y}\right)\mathrm{ d}y=\left(4y-\dfrac{2}{3}\sqrt{y^3}\right)\Bigr|_0^{16}=\dfrac{64}{3}$.
Gọi $(\mathrm{H}_1)$ là hình giới hạn bởi các đường $x=\sqrt{y}, x=4, y=0, y=k$, khi đó diện tích hình $(\mathrm{H}_1)$ là
$S_1=\displaystyle\int\limits_{0}^{k}\left(4-\sqrt{y}\right)\mathrm{ d}y=\left(4y-\dfrac{2}{3}\sqrt{y^3}\right)\Bigr|_0^{k}=4k-\dfrac{2}{3}\sqrt{k^3}.$
$\begin{array}{l} S_1=S_2=\dfrac{S}{2} \Leftrightarrow 4k-\dfrac{2}{3}\sqrt{k^3}=\dfrac{32}{3} \Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}\left( \sqrt{k}\right) ^3+4\left( \sqrt{k}\right) ^2-\dfrac{32}{3}=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{k}=2+2\sqrt{3}\\ \sqrt{k}=2-2\sqrt{3}{<}0(\text{loại})\\ \sqrt{k}=2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=16+8\sqrt{3}\\ k=4.\end{array}\right. \end{array}$
Kết hợp với điều kiện $0{<}k{<}16$ ta được $k=4$.