Cho hình lăng trụ tam giác đều\(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(3\). Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(BB’\) sao cho \(BI = \frac{1}{3}BB’\), điểm \(M\)di động trên cạnh AA’. Biết diện tích của tam giác \(MIC’\) nhỏ nhất khi tỷ số \(\frac{{AM}}{{AA’}} = \frac{a}{b}\,\left( {a \in \mathbb{N};b \in \mathbb{N}*,\,\left( {a,b} \right) = 1} \right)\). \(P = a + b\)là

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ tam giác đều\(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(3\). Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(BB’\) sao cho \(BI = \frac{1}{3}BB’\), điểm \(M\)di động trên cạnh AA’. Biết diện tích của tam giác \(MIC’\) nhỏ nhất khi tỷ số \(\frac{{AM}}{{AA’}} = \frac{a}{b}\,\left( {a \in \mathbb{N};b \in \mathbb{N}*,\,\left( {a,b} \right) = 1} \right)\). \(P = a + b\)là

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(7\).

D. \(5\).

Lời giải

Chọn hệ toạ độ\(Axyz\) sao cho: \(A\left( {0;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;1;0} \right),\,C\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right),\,\,A’\left( {0;0;3} \right).\)Khi đó \(B’\left( {0;1;3} \right);\,C’\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};3} \right);\,I\left( {0;1;1} \right)\). Gọi toạ độ điểm \(M\left( {0;0;x} \right) \in AA’\left( {0 \le x \le 3} \right)\).

\(\overrightarrow {IC’} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2};2} \right);\,\overrightarrow {IM} = \left( {0; – 1;x – 1} \right)\)

Ta có: Diện tích của tam giác \(MIC’\)là \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {IC’} ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right| = \frac{1}{4}\sqrt {4{x^2} – 16x + 31} = \frac{1}{4}\sqrt {4{{\left( {x – 2} \right)}^2} + 15} \)

Do đó \(S\)nhỏ nhất khi \(x = 2\). Khi đó tỉ số \(\frac{{AM}}{{AA’}} = \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b = 5\). Chọn D.

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ