Cho hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(ABCD\) là hình thang cân, \(AD = DC = CB = a,\,AB = 2a\) và \(AA’ = 2a\sqrt 2 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\)

Cho hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(ABCD\) là hình thang cân, \(AD = DC = CB = a,\,AB = 2a\) và \(AA’ = 2a\sqrt 2 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\)

A. \(4{a^3}\pi \).

B. \(12\sqrt 3 {a^3}\pi \).

C. \(4\sqrt 3 {a^3}\pi \).

D. \(3\sqrt 3 {a^3}\pi \).

Lời giải:

Theo giả thiết thì hình thang \(ABCD\) có đáy lớn là \(AB\) và đáy bé là \(CD\)

Gọi \(O\) là trung điểm \(AB\), \(O’\)là trung điểm \(A’B’\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AO//DC\\AO = DC = AD = a\end{array} \right.\) suy ra \(ADCO\) là hình thoi suy ra \(OC = a\)

Tương tự ta có \(BCDO\) cũng là hình thoi nên suy ra \(OD = a\)

Từ đó suy ra \(OA = OB = OC = OD\) suy ra \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang \(ABCD\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO’\) khi đó \(IA = IB = IC = ID = IA’ = IB’ = IC’ = ID’ = R\) nên \(I\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\)

Ta có \(R = IB’ = \sqrt {B’O{‘^2} + IO{‘^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 a\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {(\sqrt 3 a)^3} = 4\sqrt 3 {a^3}\pi \).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.