Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông cân đỉnh\(A\), mặt bên là \(BCC’B’\) hình vuông, khoảng cách giữa\(AB’\) và \(CC’\) bằng \(a\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là:

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

D. \({a^3}\).

Lời giải::

Ta có: \(AC \bot AB\)(giả thiết), \(AC \bot AA’\)( vì \(ABC.A’B’C’\) là lăng trụ đứng)\( \Rightarrow AC \bot \left( {AA’B’B} \right)\).

Ta có: \(CC’//BB’\)\( \Rightarrow CC’//\left( {AA’B’B} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {CC’,AB’} \right) = d\left( {CC’,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AA’B’B} \right)} \right) = AC = a\).

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = AC\sqrt 2 = a\sqrt 2 \).

Mặt khác \(BCC’B’\) hình vuông nên \(BB’ = BC = a\sqrt 2 \).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là: \(V = {S_{ABC}}.BB’ = \frac{{{a^2}}}{2}a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).