Cho hình hộp chữ nhật\(ABCD.A’B’C’D’\). Khoảng cách giữa \(AB\) và \(B’C\) là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), giữa \(BC\) và \(AB’\) là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), giữa \(AC\) và \(BD’\) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối hộp đó là:

Cho hình hộp chữ nhật\(ABCD.A’B’C’D’\). Khoảng cách giữa \(AB\) và \(B’C\) là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), giữa \(BC\) và \(AB’\) là \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), giữa \(AC\) và \(BD’\) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối hộp đó là:

A. \(2{a^3}\).

B. \(4{a^3}\).

C. \({a^3}\).

D. \(8{a^3}\)

Lời giải:

Đặt \(AB = x\), \(AD = y\), \(AA’ = z\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(B’C\), ta có \(BH\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(B’C\) nên \(d\left( {AB,B’C} \right) = BH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\). (1)

Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(AB’\), ta có \(BI\) là đoạn vuông góc chung của \(BC\) và \(AB’\) nên \(d\left( {BC,AB’} \right) = BI \Rightarrow \frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\). (2)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(DD’\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có mặt phẳng \(\left( {ACM} \right)\) chứa \(AC\) và song song với \(BD’\)nên \(d\left( {AC,BD’} \right) = d\left( {BD’,\left( {ACM} \right)} \right) = d\left( {D’,\left( {ACM} \right)} \right)\).

Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(AC\), \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(MJ\), ta có \(d\left( {D’,\left( {ACM} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {ACM} \right)} \right) = DK \Rightarrow \frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{4}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\). (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\frac{2}{{{z^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Leftrightarrow z = 2a \Rightarrow x = y = a\).Thể tích khối hộp là \(V = xyz = 2{a^3}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.