A. \(\frac{{a\sqrt {91} }}{{15}}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {1365} }}{{15}}\).
C. \(\frac{{a\sqrt {1365} }}{{91}}\). \(\)
D. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{{91}}\).
Lời giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SCI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBI} \right) \cap \left( {SCI} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(K = CI \cap DM\).
Theo sơ đồ DKH ta có \(\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{d^2}}} + \frac{{{k^2}}}{{{h^2}}}\).
Trong đó \(x = d\left( {SC,DM} \right);{\rm{ }}h = SI;{\rm{ }}k = \frac{{CI}}{{CK}};{\rm{ }}d = d\left( {C,DM} \right)\).
Dễ thấy \(\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,CI} \right)} = \widehat {SCI} = {60^0}\).
Suy ra \(h = SI = CI.\tan \widehat {SCI} = \sqrt {D{I^2} + D{C^2}} .\tan {60^0} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} .\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
Vì \(AM = 2a\) nên \(BM = a\). Từ đó suy ra \(DMCB\) là hình bình hành.
Khi đó \(d = d\left( {C,DM} \right) = d\left( {B,DM} \right) = \frac{{BM}}{{AM}}d\left( {A,DM} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{AM.AD}}{{DM}}\)
\( = \frac{1}{2}\frac{{AM.AD}}{{\sqrt {A{M^2} + A{D^2}} }} = \frac{1}{2}\frac{{2a.a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(DM\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DC{\rm{//}}IN{\rm{//}}AM\\DC = IN = \frac{1}{2}AM\end{array} \right.\). Suy ra \(DCNI\) là hình bình
hành. Do đó \(K\) là trung điểm của \(IC\). Hay \(k = \frac{{CI}}{{CK}} = 2\).
Từ đó ta được \(\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{d^2}}} + \frac{{{k^2}}}{{{h^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} + \frac{{4.4}}{{15{a^2}}} = \frac{{91}}{{15{a^2}}} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt {1365} }}{{15}}\).
Vậy \(d\left( {SC,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {1365} }}{{15}}\).
=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.
Trả lời