A. \(\frac{{19\pi {a^3}\sqrt {19} }}{{48}}\).
B. \(\frac{{19\pi {a^3}\sqrt {19} }}{{24}}\).
C. \(\frac{{17\pi {a^3}\sqrt {17} }}{{12}}\).
D. \(\frac{{17\pi {a^3}\sqrt {17} }}{{48}}\).
Lời giải:
Dựng hình bình hành \(ABDC\), vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và \(\widehat {BAC} = 120^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {ABD} = 60^\circ \) và tam giác \(ABD\) là tam giác đều, từ đó suy ra \(DB = DA = DC = a\), nên \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Qua \(D\), dựng đường thẳng \(d \bot \left( {ABC} \right)\) thì \(d\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(d{\rm{//}}SA\). Trong mặt phẳng \(\left( {d,SA} \right)\), qua \(E\) là trung điểm của \(SA\), dựng đường trung trực của \(SA\)nó cắt \(d\) tại \(I\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {I{D^2} + A{D^2}} \).
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow OA \bot BC\), theo định lí ba đường vuông góc thì \(SO \bot BC \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SOA} = 60^\circ \Rightarrow SA = OA.tan60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {I{D^2} + A{D^2}} = \sqrt {A{E^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt {19} }}{4}\).
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt {19} }}{4}} \right)^3} = \frac{{19\pi {a^3}\sqrt {19} }}{{48}}\).
=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.
Trả lời