Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$ và $f^{\prime}(x)$ như hình vẽ

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$ và $f^{\prime}(x)$ như hình vẽ. Biết $\displaystyle \int_{-2}^{1}f^{\prime}(x)\mathrm{d}x=3$ và diện tích $S=\dfrac{5}{3}$. Giá trị $f(3)-f(-2)=\dfrac{a}{b}$. Tích $a\cdot b$ bằng bao nhiêu, biết $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản?

Đáp án: 12

Lời giải: Diện tích $S=\displaystyle\int_1^3|f(x)| \mathrm{d} x=\dfrac{5}{3} \Rightarrow S=-\displaystyle\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{5}{3} \Rightarrow \displaystyle\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=-\dfrac{5}{3}$.
Ta có $\displaystyle\int_{-2}^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{-2}^1 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_1^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \Rightarrow f(3)-f(-2)=3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{a}{b}$.
Vậy tích $a\cdot b=4\cdot 3=12$.