Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f(x)=-3x^4-2035x^2+2765$. Chọn phát biểu đúng?
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-117;189]$ tại điểm $x=189$.
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-117;189]$ tại điểm $x=0$.
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-117;189]$ tại điểm $x=189$.
D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[-117;189]$ tại điểm $x=-117$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên một đoạn. Hàm số đã cho có dạng $f(x) = Ax^4 + Bx^2 + C$ với $A<0$ và $B<0$. Phương pháp giải là xét đạo hàm $f'(x)$ để tìm điểm cực trị. Ta có $f'(x) = -x(4Ax^2 + 2B)$. Vì cả hai hệ số $A$ và $B$ đều âm, $4Ax^2 + 2B$ luôn âm (hoặc dương, tùy thuộc vào giá trị cụ thể, nhưng trong bài toán này $12x^2+4070 > 0$ với mọi $x$). Do đó, $f'(x)$ chỉ có nghiệm $x=0$. Lập bảng biến thiên cho thấy hàm số tăng khi $x<0$ và giảm khi $x>0$. Vậy hàm số đạt GTLN toàn cục tại $x=0$. Vì điểm $x=0$ nằm trong đoạn $[-117; 189]$, GTLN trên đoạn này đạt tại $x=0$. Đây là một dạng hàm chẵn đặc biệt, cho phép xác định GTLN nhanh chóng.
Bài toán tương tự
Cho hàm số $y=f(x)=-2x^4-50x^2+300$. Chọn phát biểu đúng về giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-10; 5]$?
A. Hàm số đạt GTLN tại $x=5$.
B. Hàm số đạt GTLN tại $x=0$.
C. Hàm số đạt GTLN tại $x=-10$.
D. Hàm số đạt GTLN tại $x=\pm 5$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải:
Ta có đạo hàm $f'(x) = -8x^3 – 100x = -4x(2x^2 + 25)$.
Cho $f'(x)=0$, ta được nghiệm duy nhất $x=0$ (do $2x^2+25 > 0$ với mọi $x$).
Xét dấu $f'(x)$: Khi $x < 0$, $f'(x) > 0$ (hàm số tăng). Khi $x > 0$, $f'(x) < 0$ (hàm số giảm).
Vậy hàm số đạt cực đại toàn cục tại $x=0$.
Vì $0 \in [-10; 5]$, giá trị lớn nhất trên đoạn này đạt tại $x=0$.