Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{-2x^2-3x}{-2x+1}$. Khi đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1, 6]$ lần lượt bằng

Bài toán gốc

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{-2x^2-3x}{-2x+1}$. Khi đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[1, 6]$ lần lượt bằng

A. $\max\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{90}{11}$, $\min\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{9}{2}$.

B. $\max\limits_{[1, 6]}f(x) = -1$, $\min\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{9}{2}$.

C. $\max\limits_{[1, 6]}f(x) = -1$, $\min\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{9}{2}$.

D. $\max\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{90}{11}$, $\min\limits_{[1, 6]}f(x) = 1$.

Lời giải: Đạo hàm $y^{\prime} = \dfrac{4x^2-4x-3}{(-2x+1)^2}$.
Cho $y^{\prime} = 0 \Rightarrow 4x^2-4x-3 = 0 \Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x_1 = – \dfrac{1}{2} \\ x_2 = \dfrac{3}{2}.\end{array}\right.$
Trên đoạn $[1, 6]$ ta có
$\bullet$ Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[1, 6]$ bằng $\max\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{90}{11}$.
$\bullet$ Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1, 6]$ là $\min\limits_{[1, 6]}f(x) = \dfrac{9}{2}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số liên tục trên một đoạn đóng (tức là $[a, b]$). Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các nghiệm $x_i$ của $f'(x)=0$ thuộc đoạn $[a, b]$, sau đó so sánh các giá trị $f(a)$, $f(b)$, và $f(x_i)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị này là Max, và giá trị nhỏ nhất là Min.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y = g(x) = \dfrac{x^2 – 4x}{x + 1}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 3]$.

A. $\max_{[0, 3]}g(x) = 0$, $\min_{[0, 3]}g(x) = -\dfrac{3}{4}$.

B. $\max_{[0, 3]}g(x) = -1$, $\min_{[0, 3]}g(x) = -6 + 2\sqrt{5}$.

C. $\max_{[0, 3]}g(x) = 0$, $\min_{[0, 3]}g(x) = -6 + 2\sqrt{5}$.

D. $\max_{[0, 3]}g(x) = 0$, $\min_{[0, 3]}g(x) = -2\sqrt{5}$.

Đáp án đúng: C

Lời giải ngắn gọn:

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Hàm số liên tục trên $[0, 3]$.

Đạo hàm: $g^{\prime}(x) = \dfrac{(2x – 4)(x + 1) – (x^2 – 4x)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x – 4}{(x + 1)^2}$.

Cho $g^{\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x – 4 = 0$. Phương trình có hai nghiệm $x_1 = -1 – \sqrt{5}$ và $x_2 = -1 + \sqrt{5}$.

Chỉ có nghiệm $x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1.236$ thuộc đoạn $[0, 3]$.

Tính giá trị tại các điểm $x = 0$, $x = 3$ và $x = -1 + \sqrt{5}$:

• $g(0) = \dfrac{0}{1} = 0$.
• $g(3) = \dfrac{9 – 12}{4} = -\dfrac{3}{4} = -0.75$.
• $g(-1 + \sqrt{5}) = -6 + 2\sqrt{5} \approx -1.528$. (Đây là giá trị nhỏ nhất, vì $x_2$ là điểm cực tiểu).

So sánh các giá trị: $0, -0.75, -6 + 2\sqrt{5}$.

Vậy $\max_{[0, 3]}g(x) = 0$ và $\min_{[0, 3]}g(x) = -6 + 2\sqrt{5}$.