Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( {f\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)} \right) = m\) có nghiệm là

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( {f\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)} \right) = m\) có nghiệm là

A. \(\left[ { – 1;2} \right]\).

B. \(\left[ {0;2} \right]\).

C. \(\left[ { – 1;1} \right]\).

D. \(\left[ { – 2;2} \right]\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Vì: \({x^2} + 1 \ge 2\left| x \right| \Rightarrow \frac{{2\left| x \right|}}{{{x^2} + 1}} \le 1 \Rightarrow- 1 \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \le 1\)

Từ đồ thị thấy

\(\begin{array}{l}x \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow f(x) \in \left[ { – 2;2} \right]\\x \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow f(x) \in \left[ { – 2;2} \right]\end{array}\)

Xét phương trình

\(f\left( {f\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)} \right) = m\). Đặt \(t = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\); \(u = f\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)\).

Vì \(t \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow u \in \left[ { – 2;2} \right] \Rightarrow f(u) \in \left[ { – 2;2} \right]\)

Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì \(f\left( u \right) = m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\)

nên \(m \in \left[ { – 2;2} \right]\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Sự tương giao đồ thị hàm số