Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \({2.6^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right){.9^{f\left( x \right)}} – {3.4^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} – m} \right){.2^{2f\left( x \right)}}\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
A. \(1\).
B. \(3\).
C. \(5\).
D. \(6\).
Lời giải
Chọn C
Xét bất phương trình \({2.6^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right){.9^{f\left( x \right)}} – {3.4^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} – m} \right){.2^{2f\left( x \right)}}\) (1)
Chia hai vế bất phương trình (1) cho \({4^{f\left( x \right)}} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) ta được
\((1) \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right).{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}} – 3m \ge {m^2} – m\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m \le 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right).{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}}\) (2)
Đặt \(g\left( x \right) = 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right).{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2f\left( x \right)}}\)
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có \(f\left( x \right) \ge 1,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g\left( x \right) \ge 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^1} + \left( {{1^2} – 1} \right){\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = 3,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(g\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = 1\), suy ra \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 3\).
Vậy bất phương trình (1) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \)Bất phương trình (2) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m \le g\left( x \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m \le 3 \Leftrightarrow – 3 \le m \le 1\).
Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 3;\, – 2;\, – 1;\,0;\,1} \right\}\). Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán.
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời