Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right).{{\rm{e}}^{ – x}}\) có hai giá trị cực trị là \(5\) và \( – 3\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) và \(h\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right).{{\rm{e}}^{ – x}}\) bằng
A. \(2\).
B. \(8\).
C. \({{\rm{e}}^5} – {{\rm{e}}^{ – 3}}\).
D. \({{\rm{e}}^5} – {{\rm{e}}^3}\).
GY:
Ta có \(g’\left( x \right) = \left[ {f’\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]{\rm{.}}{{\rm{e}}^{ – x}} = \left[ { – a{x^2} + \left( {2a – b} \right)x + b – c} \right]{\rm{.}}{{\rm{e}}^{ – x}}\).
Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của \(g’\left( x \right)\), khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}g’\left( {{x_1}} \right) = 0\\g’\left( {{x_2}} \right) = 0\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = 5\\g\left( {{x_2}} \right) = – 3\end{array} \right.\).
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
\(f\left( x \right).{{\rm{e}}^{ – x}} = \left( {2ax + b} \right).{{\rm{e}}^{ – x}} \Leftrightarrow \left[ { – a{x^2} + \left( {2a – b} \right)x + b – c} \right]{\rm{.}}{{\rm{e}}^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\end{array} \right.\)
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bằng
\(S = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ { – a{x^2} + \left( {2a – b} \right)x + b – c} \right]{\rm{.}}{{\rm{e}}^{ – x}}{\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {g’\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {g\left( {{x_2}} \right) – g\left( {{x_1}} \right)} \right| = 8\).
=======
Trả lời