ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) trong đó \(x,\) \(y\) không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 2 = 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) với \(P = 2x + y.\)
A. 2.
B. 1.
C. \(\frac{1}{2}\).
D. 0.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Từ điều kiện để bài và \(\frac{{x + y}}{{1 – xy}} > 0;\) \(1 – xy \ne 0\) \( \Rightarrow x + y > 0;\) \(1 – xy > 0.\)
Khi đó \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right) = {\log _3}\left( {1 – xy} \right) + \left( {1 – xy} \right)\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {\log _3}t + t,\) \(\left( {t > 0} \right)\) có \(g’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\) \(\forall t > 0.\)
Suy ra \(g\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right).\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + y = 1 – xy \Rightarrow y = \frac{{1 – x}}{{1 + x}} \Rightarrow P = 2x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}.\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}\) với \(x \in \left[ {0\,;\,1} \right].\)
Ta có \(f’\left( x \right) = 2 + \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right..\)
\(f\left( 0 \right) = 1;\) \(f\left( 1 \right) = 2\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} f\left( x \right) = 1.\)
– Tư duy + C. asio + Mẹo: {3 cách – nhưng giới thiệu 2 cách chính}
Áp dụng kĩ thuật CALC: cho \(x = 0.01 \Rightarrow y = \frac{{99}}{{101}} = \frac{{1 – x}}{{1 + x}}.\)
Cách 1: Ta có \(P = 2x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}\).
Cách 2: Hướng dẫn bên dưới
Từ đó ta có \({\log _3}\left( {\frac{{x + \frac{{1 – x}}{{1 + x}}}}{{1 – x.\frac{{1 – x}}{{1 + x}}}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{1 – x}}{{1 + x}} + 1} \right) – 2 = 0.\)
Đạo hàm hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất tại \(y\) bằng bao nhiêu?
Như vậy \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow {P_{\max }} = 2x + y = 1.\)
– Tư duy + Mẹo:
Theo đề ta có \(0 \le x,y \le 1\) — chọn tại các giá trị đặc biệt là các dấu bằng “=”.
Như vậy \(x = 0,\) \(y = 1 \Rightarrow {P_{\max }} = 2x + y = 1.\)
Hãy ghi nhớ giá trị min hay max đều liên quan tới dấu bằng “=”.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========