Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(\log \frac{{\sqrt {x – 2} }}{{100y}} = \left( {y – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x – 2} + 1} \right) – 2\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{\ln \left( {{y^2} + 2} \right)}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {700;800} \right)\). B. \(\left( {500;600} \right)\). C. \(\left( {600;700} \right)\). D. \(\left( {800;900} \right)\).
Lời giải
Điều kiện: \(y > 0,x > 2\).
Ta có \(\log \frac{{\sqrt {x – 2} }}{{100y}} = \left( {y – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {y + \sqrt {x – 2} + 1} \right) – 2\) \( \Leftrightarrow \log \sqrt {x – 2} – \log 100 – \log y = {y^2} – \left( {x – 2} \right) + y – \sqrt {x – 2} – 2\)
\( \Leftrightarrow \log \sqrt {x – 2} + \left( {x – 2} \right) + \sqrt {x – 2} = \log y + {y^2} + y\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log t + {t^2} + t\) trên khoảng .
Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{10\ln t}} + 2t + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên .
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x – 2} } \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow \sqrt {x – 2} = y \Leftrightarrow {y^2} + 2 = x\), suy ra \(P = \frac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{\sqrt[{2021}]{x}}}\) với \(x > 2\), \(g’\left( x \right) = \frac{{2021 – \ln x}}{{2021\sqrt[{2021}]{{{x^{2022}}}}}}\).
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2021 – \ln x}}{{2021\sqrt[{2021}]{{{x^{2022}}}}}} = 0 \Leftrightarrow x = {{\rm{e}}^{2021}}\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( {{e^{2021}}} \right) = \frac{{2021}}{e} \in \left( {700;800} \right)\).
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.
Để lại phản hồi