Cho hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn biểu thức \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right)\). Giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y}\) bằng

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Cho hai số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn biểu thức \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right)\). Giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y}\) bằng

A. \(\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\). 

B. \(\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\). 

C. \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\). 

D. \(\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Với \(x\), \(y\)\( > 0\), đặt \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {6^t}\\x + y = {9^t}\end{array} \right.\)

Ta có: \({4^t}{.9^t} = {2^{2t}}{.3^{2t}} = {6^{2t}} = {\left( {{6^t}} \right)^2} \Rightarrow x\left( {x + y} \right) = {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + xy – {y^2} = 0\)

Chia 2 vế củacho \({y^2}\) ta được: \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + \frac{x}{y} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\\\frac{x}{y} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vì \(x\), \(y\)\( > 0\) nên \(\frac{x}{y} > 0\). Do đó giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Tư duy + Casio

Với \(x\), \(y\)\( > 0\), đặt \({\log _4}x = {\log _6}y = {\log _9}\left( {x + y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {6^t}\\x + y = {9^t}\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t} \Rightarrow t\)

Gán \(\mathfrak{t} \to {\bf{A}}\), tính ngược lại tỉ số \(\frac{x}{y}\)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========