Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(1 > a > b > \frac{1}{4}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \) thuộc tập hợp nào dưới đây?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(1 > a > b > \frac{1}{4}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \) thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. \(\left( {0;\,1} \right)\). 

B. \(\left( {4;\frac{{11}}{2}} \right).\) 

C. \(\left( {\frac{5}{2};4} \right)\). 

D. \(\left( {1;\frac{5}{2}} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1: Tự luận

Đặt \({\log _b}a = t\). Với điều kiện: \(1 > a > b > \frac{1}{4}\).

Khi đó \(0 = {\log _b}1 < {\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow t \in \left( {0;\,1} \right)\)

Ta có: \({b^2} – b + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow b – \frac{1}{4} \le {b^2} \Rightarrow {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2} \Rightarrow {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) \ge \frac{2}{t}\).

\({\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b  = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_b}a – 1} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {t – 1} \right)}}.\) Do đó \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b  \ge \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\) vói \(t \in \left( {0;\,1} \right)\).

\(f’\left( t \right) =  – \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{{2{{\left( {1 – t} \right)}^2}}}.\) Với \(t \in \left( {0;\,1} \right)\), ta có: \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)

Do: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \left( {\frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ – }} f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ – }} \left( {\frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}} \right) =  + \infty .\)

Lập \({\rm{BBT}}\) của hàm số \(f\left( t \right) = \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\) với \(t \in \left( {0;\,1} \right)\) ta có:

Dựa vào \({\rm{BBT}}\) ta tìm được \(Minf\left( t \right) = \frac{9}{2}\) tại \(t = \frac{2}{3}\).

Vậy \(MinP = \frac{9}{2}\).

Cách 2: Tư duy + Casio

Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện \(1 > a > b > \frac{1}{4}\). 

Nhập cả biểu thức: \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \) vào máy tính.

Dùng lệnh CALC đồng thời cả \(a,\,b\) với \(1 > a > b > \frac{1}{4}\) thử nhanh liên tục ta được \(\min P = \frac{9}{2}\).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========